Die Verschiebung der Schwarzkörperstrahlung

Das Wiensche Verschiebungsgesetz, häufig auch als „Wiensches Gesetz“ bezeichnet, besagt, dass die Wellenlänge des Strahlungsmaximums eines schwarzen Strahlers umgekehrt proportional zur Temperatur ist. Mit steigender Temperatur verschiebt sich das Strahlungsmaximum zu kürzeren Wellenlängen, während niedrigere Temperaturen zu längeren Wellenlängen des Maximums führen. Dieser umgekehrte Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Temperatur ist eine direkte Folge des Planckschen Strahlungsgesetzes, das die spektrale Intensität der Schwarzkörperstrahlung als Funktion der Wellenlänge für eine bestimmte Temperatur beschreibt. Vereinfacht gesagt emittieren heißere Objekte Strahlung bei kürzeren Wellenlängen, während kühlere Objekte Strahlung bei längeren Wellenlängen emittieren.

Das Wiensche Verschiebungsgesetz gibt an, dass die spektrale Strahldichte der Schwarzkörperstrahlung bei einer bestimmten Wellenlänge [math]\lambda _{peak}[/math] ihr Maximum erreicht, das durch die Temperatur [math]T[/math] des schwarzen Strahlers bestimmt wird.

[math]\lambda _{peak}=\frac{b}{T}[/math]

Die Konstante b ist eine Proportionalitätskonstante, die als Wiensche Verschiebungskonstante bezeichnet wird.

[math]b=2.897\ \bullet \ 10^{-3}\ m\ K[/math]

Abbildung 1 zeigt die Schwarzkörperstrahlung als Funktion der Wellenlänge für verschiedene Temperaturen. Jede Temperaturkurve erreicht ihr Maximum bei einer bestimmten Wellenlänge, wobei das Wiensche Gesetz die Verschiebung der Position dieses Maximums bei einer Temperaturänderung beschreibt.

Das Wiensche Verschiebungsgesetz sagt lange Wellenlängen und niedrige Temperaturen nicht genau voraus. Bei niedrigen Temperaturen kann mit dem Wienschen Gesetz keine kontinuierliche Kurve erhalten werden. Wie in Abbildung 1 zu sehen ist, beginnt sich der Graph der Wellenlänge des Maximums asymptotisch anzunähern, wenn die Wellenlänge zunimmt und die Temperatur abnimmt. Darüber hinaus verbreitert sich die Plancksche Kurve mit steigender Temperatur.

Das Wiensche Verschiebungsgesetz kann aus dem Planckschen Strahlungsgesetz hergeleitet und angenähert werden. Dazu wird die Plancksche Funktion der spektralen Strahldichte [math]B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)[/math] nach der Wellenlänge λ differenziert und das Ergebnis zur Berechnung der Position des Maximums gleich null gesetzt.

[math]\frac{d}{d\lambda}.B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)=\frac{hc}{\lambda.k_{B}.T}\frac{e\frac{hc}{\lambda.k_{B}.T}}{e\frac{hc}{\lambda.k_{B}.T}-1}-5=0[/math]

Durch die Definition von [math]x\ =\ \frac{hc}{\lambda k_BT}[/math] kann die abgeleitete Plancksche Funktion vereinfacht werden, da sie zu einer Funktion mit nur einer Variablen wird.

[math]\frac{x\ e^x}{e^x-1}-5=\ …\ =\ e^x\ (x-5)\ +5=0[/math]

Diese Gleichung muss numerisch mit dem Newton-Verfahren gelöst werden, woraus [math]x\ =\ 4.965[/math] resultiert. Unter Verwendung dieses Werts für den Zusammenhang mit der Wellenlänge des Maximums, [math]\lambda _{peak}[/math], kann die Wiensche Konstante hergeleitet werden.

[math]\ \lambda _{peak}\ =\ \frac{h\ c}{x\ k_BT}\ =\ \frac{h\ c}{4.965\ k_B}\ \frac{1}{T}=\ \frac{b}{T}\ [/math]

Etwa 25 % der gesamten Infrarotenergie liegen bei Wellenlängen unterhalb des Maximums, während die übrigen 75 % bei Wellenlängen oberhalb des Maximums liegen [4]. Daher können Infrarotradiometrie und langwellige Sensoren häufig auf die Messung hoher Temperaturen abgestimmt werden, während kurzwellige Sensoren Schwierigkeiten bei der Messung niedriger Temperaturen haben, wenn das Wellenlängenmaximum noch im langwelligen Bereich liegt.