Vom Planckschen Gesetz zum Stefan-Boltzmann-Gesetz

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz, auch Stefansches Gesetz genannt, definiert die gesamte Energie, die ein schwarzer Strahler im thermischen Gleichgewicht pro Flächeneinheit emittiert. Um die gesamte von einem Objekt abgestrahlte Leistung zu bestimmen, wird die spezifische Ausstrahlung mit seiner Oberfläche A multipliziert. Das Gesetz beschreibt die spezifische Ausstrahlung M als Funktion der Temperatur. Die spezifische Ausstrahlung mit einem hochgestellten Kreis kennzeichnet Größen, die sich auf einen schwarzen Strahler beziehen.

[math]M(T)\ =\ \varepsilon \ M^{\circ }(T)=\ \varepsilon \ \sigma \ T^4\ [/math]

Die Proportionalitätskonstante σ wird als Stefan-Boltzmann-Konstante [math]\sigma[/math] bezeichnet und wird aus fundamentalen physikalischen Konstanten abgeleitet.

[math]\sigma=\frac{2\pi^{5}.k_B^4}{15c^{2}.h^{3}}=5670.10^{-8}W \cdot m^{-2}.K^{-4}[/math]

Im allgemeinen Fall berücksichtigt das Stefan-Boltzmann-Gesetz für die spezifische Ausstrahlung den Emissionsgrad der strahlungsemittierenden Oberfläche. Für einen grauen Strahler wird die Leistung [math]P\ [/math] der emittierten Strahlung für eine Fläche [math]A\ [/math] durch den Emissionsgrad ε angepasst, der die Fähigkeit des Materials zur Emission von Infrarotstrahlung berücksichtigt.

[math]P\left(T\right)=AM\left(T\right)=A.\epsilon.\sigma.T^{4}[/math]

Das Gesetz kann durch Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes über das gesamte Spektrum und den Halbraum unter Berücksichtigung des Lambertschen Kosinusgesetzes hergeleitet werden. Dabei ist [math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math] das Strahldichtespektrum aus dem Planckschen Strahlungsgesetz, [math]d\Omega \ =\sin (\theta )\ d\theta \ d\phi [/math] das Raumwinkelelement in sphärischen Polarkoordinaten, [math]\theta [/math] der Winkel zwischen der Flächennormalen und der Strahlungsrichtung, [math]\phi [/math] der Richtungswinkel im Halbraum und der Term [math]\cos (\theta )[/math] berücksichtigt das Lambertsche Kosinusgesetz.

[math]M\left(\lambda,T\right)=\int_{0}^{\infty}\int_{}^{} B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)\cos\left(\sigma\right)d\Omega\ d\lambda[/math]

Da [math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math] richtungsunabhängig ist, vereinfacht sich das Winkelintegral über die Halbkugel, da die Integration der trigonometrischen Terme zu dem einfachen Faktor [math]\pi [/math] führt.

[math]M°\left(\lambda,T\right)=\int_{0}^{\infty} B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)d\lambda\int_{0}^{\pi/2} \cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)d\left(\theta\right)\int_{0}^{2\pi} d\phi=\int_{0}^{\infty} B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)d\lambda.\frac{1}{2}.2\pi[/math]

Die Integration der spektralen Strahldichte [math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math] erfordert die Substitution des Exponentialterms [math]x=\frac{hc}{\lambda \ k_B\ T}[/math], sodass [math]d\lambda =-\frac{h}{\lambda ^2\ k_B\ T}\ dx\ [/math] gilt. Unter Berücksichtigung des Bose-Einstein-Integrals vereinfacht sich die Gleichung zu folgender Form.

[math]M°\left(\lambda,T\right)=\pi\int_{0}^{\infty} B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)d\lambda=2\pi.hc^{2}\left(\frac{k_{B}T}{hc}\right)^{4}\int_{0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx=2\pi.hc^{2}\frac{k_{B}T}{hc}\frac{\pi^{4}}{15}=\frac{2\pi^{5}k_B^4}{15c^{2}h^{3}}T^{4}[/math]

Der letzte Term entspricht der bereits eingeführten Stefan-Boltzmann-Konstante und zeigt, dass die von einem schwarzen Strahler emittierte Leistung proportional zur vierten Potenz seiner Temperatur ist. Abbildung 1 veranschaulicht den Zusammenhang zwischen dem emittierten Spektrum und der abgestrahlten Leistung.