Verhältnisverfahren in der Zweifarben-Pyrometrie

Die Quotientenmethode versucht, gleichzeitig eine einzige Temperatur und ein Emissionsgradverhältnis zu bestimmen, die die Messungen zweier Detektoren bei zwei unabhängigen Wellenlängen erfüllen. Die Quotientenmethode ist ein Verfahren, das in der Zweifarben- beziehungsweise Zweiwellenlängenpyrometrie eingesetzt wird. Sie hilft dabei, die tatsächliche Oberflächentemperatur eines Objekts zu bestimmen. Dazu werden zwei Detektoren verwendet, die jeweils die Strahlung bei einer unterschiedlichen Wellenlänge messen.

Die Grundidee der Zweifarbenpyrometrie ist einfach: Bei der konventionellen berührungslosen Temperaturmessung gibt es typischerweise zwei unbekannte Größen – die tatsächliche Temperatur des Objekts und dessen Emissionsgrad –, aber nur eine Messung eines einzelnen Detektors. Bei der Zweifarbenmethode kommt ein zweiter Detektor hinzu, der bei einer anderen Wellenlänge arbeitet und damit eine zweite Messung liefert. Auf den ersten Blick scheint dadurch ein lösbares System zu entstehen: zwei Unbekannte (Temperatur und Emissionsgrad) und zwei unabhängige Messungen. Tatsächlich enthält das System jedoch weiterhin drei Unbekannte, da der Emissionsgrad mit der Wellenlänge variieren kann. Das bedeutet, dass sich der Emissionsgrad bei einer Wellenlänge von dem bei der zweiten Wellenlänge unterscheiden kann, sodass weiterhin Annahmen über das Emissionsgradverhältnis getroffen werden müssen, um die tatsächliche Oberflächentemperatur zu bestimmen.

Auch Einflüsse des Hintergrunds oder des optischen Pfads sind ein wichtiges Argument für Quotientenpyrometer. Befinden sich beispielsweise Staub, Dampf oder ein semitransparentes Fenster im optischen Pfad, kann ein Quotientenpyrometer diese Verluste nur dann kompensieren, wenn die Abschwächung bei beiden Wellenlängen gleich ist. In vielen Fällen werden breitbandige Beeinträchtigungen, beispielsweise eine gleichmäßig verschmutzte Linse oder Rauch, der beide Kanäle ähnlich beeinflusst, durch die Quotientenmessung tatsächlich reduziert. Unterscheidet sich die Transmission des optischen Pfads jedoch in Abhängigkeit von der Wellenlänge, beispielsweise bei nicht-grauer Abschwächung, verändert dies effektiv das gemessene Emissionsgradverhältnis und führt zu Fehlern, ähnlich wie eine Änderung des Emissionsgrads. Selbst wenn das Emissionsgradverhältnis konstant ist, kann eine unterschiedliche Transmission der beiden Kanäle Fehler verursachen, die Emissionsgradfehlern ähneln.

Bei einem Zweifarbenpyrometer wird häufig angenommen, dass der Emissionsgrad bei beiden Wellenlängen nahezu gleich ist. [math]λ_T[/math] und [math]λ_B[/math], sodass [math]ε_1 (λ_T )= ε_2 (λ_B )[/math]. Wenn [math]ε_1 (λ_T )[/math] nicht gleich [math]ε_1 (λ_B )[/math] ist, muss eine Korrektur vorgenommen werden, die bei Quotientenpyrometern typischerweise als „Slope“ oder Emissionsgradverhältnis bezeichnet wird.

[math]ε_slope= (ε_1 (λ_T ))/(ε_2 (λ_B ) )≈1 [/math]

Eine Möglichkeit, das Quotientenpyrometer analytisch zu beschreiben, ist die folgende. Ausgangspunkt ist die Definition des Emissionsgrads als Verhältnis zwischen der Strahldichte und der Schwarzkörperstrahldichte bei derselben Temperatur. Durch Einsetzen des Planckschen Ausdrucks und unter Berücksichtigung, dass sich die Terme [math]λ^5[/math] und [math]c_1[/math] herauskürzen, ergibt sich der folgende Term, der die Strahlungskonstanten [math]c_1[/math] und [math]c_2[/math] enthält.

[math]ε_slope= (ε_1 (λ_T ))/(ε_2 (λ_B ) )=(M_(λ_T ) (λ_T,T_T ))/(M_(λ_T)^° (λ_T,T) )∙(M_(λ_B)^° (λ_B,T))/(M_(λ_B ) (λ_B,T_B ) )=⋯=(e^(c_2/(λ_T ∙T_T ))-1)/(e^(c_2/(λ_T ∙T))-1)∙(e^(c_2/(λ_B ∙T))-1)/(e^(c_2/(λ_B ∙T_B ))-1)[/math]

Aus dem Verhältnis der beiden Emissionsgrade bei den beiden Wellenlängen ergibt sich die folgende Beziehung zwischen den beiden äquivalenten Strahlungstemperaturen [math]T_T[/math], [math]T_B[/math] bei beiden Wellenlängen und der tatsächlichen Oberflächentemperatur [math]𝑇[/math].

Für die Gleichung existiert keine analytische Lösung, sodass die Lösung numerisch durch Iteration bestimmt werden muss. Daher wird die Quotiententemperatur eingeführt, die aus den beiden Detektormesswerten berechnet wird. Sie entspricht der Temperatur eines schwarzen Strahlers, der bei den beiden Wellenlängen dasselbe Strahlungsverhältnis emittieren würde.

[math]1/T_R = Λ (1/(λ_T T_T )- 1/(λ_B T_B ))[/math]

Unter Verwendung der Wienschen Näherung und der Information über die Beziehung zwischen den beiden Emissionsgraden ergibt sich eine einfachere Formel.

[math]1/T=1/T_R + Λ/c_2 ln⁡(ε_slope )[/math]

Obwohl die Wiensche Näherung bei niedrigeren Temperaturen oder längeren Wellenlängen einen gewissen Fehler verursacht, da sie einen Faktor des Planckschen Strahlungsgesetzes vernachlässigt, kann daraus die folgende Gleichung abgeleitet werden. Im Hochtemperatur- und kurzwelligen Bereich, in dem Zweifarbenpyrometer typischerweise arbeiten, ist sie jedoch häufig ausreichend genau.

Dabei wird die effektive Wellenlänge Λ eingeführt, die von den beiden verwendeten Wellenlängen abhängt. Sie ist keine physikalische Wellenlänge, sondern eine mathematische Größe, die in der Formel zur Bestimmung der Oberflächentemperatur auftritt.

[math]Λ= (λ_B λ_T )/(λ_T-λ_B )[/math]

Mit diesem Gleichungssystem kann die Temperatur berechnet werden, indem die Strahlungstemperatur bei beiden Wellenlängen gemessen und ein Emissionsgradverhältnis angenommen wird, das häufig nahe bei 1 liegt.

Die effektive Wellenlänge Λ steigt stark an, wenn sich die beiden Messwellenlängen einander annähern. Die Wahl eng beieinanderliegender Wellenlängen kann zwar dazu beitragen, ein stabileres und besser vorhersehbares Emissionsgradverhältnis zwischen ihnen sicherzustellen, führt jedoch gleichzeitig zu einem deutlich höheren Wert der effektiven Wellenlänge. Eine höhere effektive Wellenlänge macht die berechnete Temperatur wiederum wesentlich empfindlicher gegenüber Unsicherheiten im Emissionsgradverhältnis. Dadurch entsteht ein grundlegender Zielkonflikt in der Zweifarbenpyrometrie: Eng beieinanderliegende Wellenlängen verbessern die Zuverlässigkeit der Emissionsgradannahmen, verstärken jedoch gleichzeitig den Einfluss von Fehlern in diesen Annahmen auf die resultierende Temperatur.

Vom Detektorsignal zur Temperatur: Mathematische Grundlage der Quotientenmethode

Eine weitere Möglichkeit, die Abhängigkeit des Quotienten auszudrücken, ist die folgende. Das Quotientensignal zwischen den Kanälen kann ebenfalls wie folgt dargestellt werden. Dabei wird angenommen, dass die beiden gemessenen Wellenlängen sehr schmalbandig sind. Unter Berücksichtigung des Planckschen Strahlungsgesetzes vereinfacht sich die Gleichung unter der Annahme, dass die gemessene Bandbreite monochromatisch ist [math]Δλ ≪λ[/math], die Wellenlängen [math]λ_B≈ λ_T[/math] sind und die Emissionsgradwerte nahe beieinanderliegen, [math]ε_1 (λ_T )≈ε_2 (λ_B )[/math]. Da die Detektoren den empfangenen Infrarotfluss proportional messen, ergibt sich der Ausdruck für die Quotientenmethode aus der Definition des Planckschen Strahlungsgesetzes in der folgenden Gleichung für die beiden Wellenlängen [math]λ_T[/math] und [math]λ_B[/math].

[math]U_T/U_B ~(ϕ_(λ_T ) ( λ_1,T_obj ))/(ϕ_(λ_B ) ( λ_2,T_obj ) )=(ε_1 (λ_T ))/(ε_2 (λ_B ) ) (M^∘ (λ_T,T_obj ) )/(M^∘ (λ_B,T_obj ) )=⋯= ε_slope (λ_B^5)/(λ_T^5 ) (e^(c_2/(λ_B ∙T))-1)/(e^(c_2/(λ_T ∙T))-1) ≈ε_slope (λ_B/λ_T )^5 e^(c_2/(λ_T ∙T)- c_2/(λ_B ∙T))=ε_slope (λ_B/λ_T )^5 e^( c_2/T (λ_B- λ_T)/(λ_B λ_T ))= ε_slope (λ_B/λ_T )^5 e^(- c_2/TΛ )[/math]

Abbildung 1 veranschaulicht die Detektorsignale eines typischen Quotientenpyrometers (R1M) in Abhängigkeit von der Zieltemperatur. Die beiden durchgezogenen Linien stellen die spektralen Signalantworten der einzelnen Detektoren in Kanal 1 und Kanal 2 dar, die bei unterschiedlichen Infrarotwellenlängen arbeiten. Entsprechend dem Planckschen Strahlungsgesetz empfängt jeder Einfarbenkanal mit steigender Temperatur eine exponentiell zunehmende Strahlungsintensität, wobei sich Stärke und Steigung aufgrund der wellenlängenabhängigen Empfindlichkeit unterscheiden.

Die gepunktete Linie zeigt den logarithmischen Quotienten dieser beiden Kanäle. Im Gegensatz zu den Rohsignalen weist die Quotientenantwort über einen großen Temperaturbereich ein nahezu lineares Verhalten auf und ermöglicht dadurch eine Temperaturmessung, ohne dass der genaue Emissionsgrad bekannt sein muss – vorausgesetzt, das Emissionsgradverhältnis zwischen beiden Kanälen bleibt konstant.

Auf Grundlage der oben dargestellten Formel kann die Temperatur eines Objekts in die folgende Gleichung umgestellt werden. Auch hier muss zur weiteren Vereinfachung die Wiensche Näherung angewendet werden.

[math]T= c_2/(Λ [ln⁡〖(ε_slope )+ ln⁡((λ_B^5)/(λ_T^5 ))-ln⁡(U_T/U_B ) 〗 ] )[/math]

Wie Fehler der Emissionsgrad-Slope die Temperaturmessung bei der Zweifarbenpyrometrie verfälschen

Die Fähigkeit eines Quotientenpyrometers, den Emissionsgradterm herauszukürzen, hat jedoch ihren Preis. Der Temperaturfehler hängt stark von der Unsicherheit des Emissionsgradverhältnisses ab. Liegen die beiden Wellenlängen zu dicht beieinander, wird Λ sehr groß, wodurch das Ergebnis empfindlicher gegenüber Fehlern wird. Über kleine Wellenlängenbereiche kann die Slope jedoch stabiler oder besser bekannt sein, was die Genauigkeit insgesamt verbessern kann. Bereits eine geringe Änderung des Emissionsgradverhältnisses beeinflusst die berechnete Temperatur. Die Empfindlichkeit lässt sich darstellen, indem die Quotientengleichung nach der Temperatur aufgelöst, die Temperatur nach der Slope differenziert und die Wiensche Näherung verwendet wird, um einige exponentielle und logarithmische Terme zu vereinfachen.

[math]ΔT/T≈(-ΛT)/c_2 Δε_slope[/math]

Bereits eine Unsicherheit von wenigen Prozent im Emissionsgradverhältnis kann bei hohen Temperaturen Fehler von mehreren zehn Grad verursachen. In der Praxis kann daher bereits eine scheinbar geringe Änderung des Emissionsgradverhältnisses zu einer erheblichen Verschiebung der berechneten Temperatur führen.

Viele kommerzielle Systeme, die mit der Messung einer „wahren“ Temperatur beworben werden, verwenden zwei Detektoren, die bei unterschiedlichen Wellenlängen arbeiten, und nutzen einen „Quotientenmodus“, um Unterschiede im Emissionsgrad zu kompensieren. Genaue Temperaturmesswerte setzen jedoch voraus, dass das Emissionsgradverhältnis zwischen den beiden Wellenlängen bekannt ist oder stabil bleibt. Dieser Ansatz hat einen Nachteil: Das Verfahren reagiert sehr empfindlich auf Abweichungen im Emissionsgradverhältnis. In manchen Fällen kann bereits eine Differenz von 1 °C zwischen den beiden Detektorsignalen zu einer Verschiebung der berechneten Zweifarbtemperatur um 10 °C führen. Grundsätzlich ist ein Quotientenpyrometer nur dann tatsächlich emissionsgradunabhängig, wenn das Emissionsgradverhältnis während der Messung konstant bleibt.

Abbildung 2 veranschaulicht den Einfluss von Veränderungen der Emissionsgrad-Slope auf die Genauigkeit der Temperaturmessung mit Zweifarbenpyrometern. Obwohl Quotientenpyrometer einen konstanten Emissionsgrad kompensieren können, entstehen weiterhin Abweichungen, wenn sich der Emissionsgrad bei den beiden Wellenlängen unterschiedlich verändert und sich dadurch die Slope ändert.

Warum Quotientenpyrometer größere Fehler als Einfarbenpyrometer aufweisen können

Zusätzlich zu Änderungen der Slope muss die Systemgenauigkeit jedes einzelnen Kanals berücksichtigt werden, da die Quotiententemperatur auf den jeweiligen Einzeltemperaturen basiert. Dazu wird die Gleichung für die Quotiententemperatur unter der Annahme eines abweichenden Temperaturmesswerts eines einzelnen Kanals berechnet und ausgewertet. Da die Unsicherheiten der Einfarbenkanäle über die nahezu lineare Empfindlichkeitsgleichung des Quotientenpyrometers gegenüber dem Emissionsgradverhältnis weitergegeben werden, kann die Quotiententemperatur eine größere Abweichung aufweisen als dasselbe Gerät im Einfarbenmodus.

Abbildung 3 vergleicht die Systemgenauigkeit an einer idealen Schwarzkörper-Kalibrierquelle. Dabei wird ein konventionelles Einfarbenpyrometer mit einer angenommenen Genauigkeit von 0,3 % des Messwerts mit einem Quotientenpyrometer verglichen, für das eine angenommene Kalibriergenauigkeit von 0,1 % pro Kanal zugrunde gelegt wird. Bei einer tatsächlichen Zieltemperatur von 1000 °C kann Kanal 1 beispielsweise 999 °C und Kanal 2 1000,0 °C anzeigen – beide Werte liegen innerhalb typischer Kalibrierunsicherheiten eines einzelnen Kanals –, während die Quotiententemperatur eine Abweichung von bis zu 4 °C aufweisen kann.

Zweifarbenpyrometer können kleine Abweichungen zwischen den Kanälen sowie geringe Fehler im angenommenen Emissionsgradverhältnis verstärken. Dies ergibt sich direkt aus der effektiven Wellenlänge. Die Wahl eng beieinanderliegender Wellenlängen stabilisiert häufig das Emissionsgradverhältnis nahe der Annahme, dass es gleich eins ist, erhöht jedoch gleichzeitig die effektive Wellenlänge und damit die Empfindlichkeit der Temperatur gegenüber Änderungen der Slope und Unterschieden zwischen den Kanälen.

Als Faustregel gilt: Die Zweifarbtemperatur kann sich deutlich verschieben. Bei einer Differenz von etwa 1 °C zwischen den beiden Kanälen kann sich das Quotientenergebnis um bis zu ~10 °C verändern.

Abbildung 4 kombiniert die Auswirkungen der Systemgenauigkeit und von Änderungen der Slope. Interessanterweise kann ein kurzwelliges Einfarbenpyrometer hinsichtlich der Messgenauigkeit mit einem Zweifarbenpyrometer mithalten.

Abbildung 5 veranschaulicht die Messabweichung eines Quotientenpyrometers und zeigt, wie sich Abweichungen im angenommenen spektralen Emissionsgradverhältnis und in der Systemgenauigkeit auf die Temperaturmesswerte auswirken. Die x-Achse stellt die Objekttemperatur dar, die y-Achse zeigt die relative Änderung der Slope des Emissionsgradverhältnisses (±40 %) und die z-Achse gibt den daraus resultierenden Fehler der gemessenen Temperatur an. Bereits moderate Abweichungen der Slope können zu erheblichen Messfehlern führen, insbesondere bei niedrigen Temperaturen. Dies verdeutlicht die hohe Empfindlichkeit der Quotientenpyrometrie gegenüber Fehlern der Emissionsgrad-Slope und unterstreicht die Notwendigkeit einer sorgfältigen Charakterisierung des spektralen Emissionsgrads, insbesondere bei Messungen im unteren Temperaturbereich.

Wann Zweifarbenpyrometrie funktioniert – und wann nicht

Insgesamt sind Quotientenpyrometer nicht zwangsläufig genauer als Einfarbenpyrometer, es sei denn, das Emissionsgradverhältnis ist stabil, gut begründet und für die Messung relevant. Damit wird die verbreitete Annahme widerlegt, Zweifarbengeräte seien automatisch emissionsgradunabhängig. Fehler im angenommenen Emissionsgradverhältnis – insbesondere aufgrund von Veränderungen des Oberflächenzustands, wellenlängenabhängigem Emissionsgradverhalten oder dem Betrachtungswinkel – können zu erheblichen Messabweichungen führen. Obwohl Quotientenpyrometer weiterhin empfindlich gegenüber spektralen Emissionsgradänderungen sind, bieten sie wichtige Vorteile in rauen oder wechselnden Umgebungsbedingungen: Sie können gleichmäßige Signalverluste durch verschmutzte Optiken, Sichtfenster oder teilweise verdeckte Messobjekte kompensieren. Zudem reagieren sie weniger empfindlich auf Änderungen der Zielgröße oder Verschiebungen der Ausrichtung und eignen sich daher gut für bewegte oder teilweise verdeckte Objekte. Wenn das Emissionsgradverhältnis bekannt oder hinreichend stabil ist, ermöglicht die Quotientenpyrometrie eine robuste berührungslose Temperaturmessung in Anwendungen, bei denen konventionelle Einfarbenverfahren an ihre Grenzen stoßen.