Das Plancksche Gesetz: Von der Infrarotstrahlung zur Temperatur

Alle Objekte mit einer Temperatur oberhalb des absoluten Nullpunkts emittieren Infrarotstrahlung. Mit steigender Temperatur eines Objekts nimmt die Intensität der emittierten Energie zu, wodurch sich die Temperatur durch die Analyse der Infrarotstrahlung bestimmen lässt. Das Plancksche Strahlungsgesetz bildet die grundlegende physikalische Basis der berührungslosen Temperaturmessung und zeigt, dass alle Objekte mit einer Temperatur oberhalb des absoluten Nullpunkts (-273,15 °C oder 0 K) elektromagnetische Strahlung emittieren. Bei einem schwarzen Strahler – einem idealen Körper, der Strahlung über alle Wellenlängen absorbiert und emittiert – nimmt die Intensität der Infrarotemission mit steigender Temperatur zu, sodass sich die Temperatur anhand der emittierten Infrarotenergie bestimmen lässt. Das Plancksche Strahlungsgesetz zeigt außerdem, dass ein Körper mit steigender Temperatur exponentiell mehr Strahlung über alle Wellenlängen emittiert. Die spektrale Strahldichte pro Flächeneinheit, pro Raumwinkeleinheit und pro Frequenzeinheit für eine bestimmte Strahlungswellenlänge wird durch das Plancksche Gesetz beschrieben, wobei c die Lichtgeschwindigkeit, h das Plancksche Wirkungsquantum und k die Boltzmann-Konstante ist [1,2,3].

[math]B_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{2hc^2}{\lambda ^5}\frac{1}{e^{\frac{h\ \bullet \ c}{\lambda \ \bullet \ k_B\ \bullet \ T}}-1}[/math]

Das Plancksche Gesetz kann in verschiedenen Formen dargestellt und auch mithilfe der spektralen Energiedichte [math]u_{\lambda }(\lambda ,T)[/math] ausgedrückt werden:

[math]u_{\lambda }(\lambda ,T)\ \ =\frac{4\pi }{c}B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math]

In den oben genannten Varianten des Planckschen Gesetzes werden die Terme [math]2h[/math][math]c^{2}[/math] und hc/[math]k_{B}[/math] verwendet, die ausschließlich aus physikalischen Konstanten bestehen. Folglich können diese Terme selbst als physikalische Konstanten betrachtet werden und werden daher als erste Strahlungskonstante [math]c_1=\ 3.74\ \bullet 10^{-16}\ W/m^2[/math] und zweite Strahlungskonstante [math]c_2=\ 1.44\ \bullet 10^{-2}\ K/m[/math] bezeichnet. Im Planckschen Gesetz beschreiben [math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math] und [math]M°_{\lambda}\left(\lambda,T\right)[/math] unterschiedliche Aspekte der Schwarzkörperstrahlung. Während [math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math] als spektrale Strahldichte bezeichnet wird und die Intensität der emittierten Strahlung pro Wellenlängeneinheit und Raumwinkeleinheit beschreibt, wird sie in [math]Wm^{-2}\mu[/math][math]m^{-1}sr^{-1}[/math] angegeben und beschreibt damit die Strahlung in einer bestimmten Richtung. Im Gegensatz dazu beschreibt [Equation], die spektrale spezifische Ausstrahlung, die insgesamt emittierte Leistung pro Flächeneinheit und pro Wellenlängeneinheit, integriert über alle Richtungen. Ihre Einheit ist [math]Wm^{-2}\mu[/math][math]m^{-1}[/math]. Die folgende Gleichung stellt den Zusammenhang zwischen beiden Größen dar.

[math]M°_{\lambda}\left(\lambda,T\right)=\pi.B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)[/math]

Daher kann das Plancksche Gesetz für die spektrale spezifische Ausstrahlung [Equation] eines schwarzen Strahlers in den Halbraum in Abhängigkeit von seiner Temperatur und Wellenlänge wie folgt umformuliert werden [1,2,3].

[math]M°_{\lambda}\left(\lambda,T\right)=\frac{c_{1}}{\lambda^{5}}.\frac{1}{e^{\frac{c_{2}}{\lambda T}}-1}[/math]

Diese Formeln sind sehr abstrakt und können daher für viele praktische Anwendungen nicht direkt verwendet werden. Zahlreiche physikalische Beobachtungen lassen sich jedoch daraus ableiten. Die emittierte Infrarotenergie nimmt mit der Objekttemperatur zu, und die Wellenlänge des Strahlungsmaximums verschiebt sich zu kürzeren Wellenlängen. Mit steigender Temperatur verschiebt sich das Maximum der spektralspezifischen Strahlung zu kürzeren Wellenlängen. Bei höheren Temperaturen nimmt die Menge der Infrarotstrahlung zu und kann als Wärme wahrgenommen werden. Gleichzeitig wird mehr sichtbare Strahlung emittiert, sodass der Körper sichtbar rot zu glühen beginnt. Bei noch höheren Temperaturen erscheint der Körper hellgelb oder blau-weiß und emittiert erhebliche Mengen kurzwelliger Strahlung.

Bei Raumtemperatur (~300 K) emittiert ein Körper hauptsächlich infrarote und damit unsichtbare Wärmestrahlung. Das Strahlungsmaximum liegt etwa im Bereich von 10 bis 14 µm, weshalb die meisten Wärmebildkameras für entsprechende Temperaturmessbereiche in diesem Spektralbereich arbeiten. Dennoch besagt das Plancksche Strahlungsgesetz, dass ein Körper mit steigender Temperatur bei jeder Wellenlänge mehr Strahlung emittiert.

Die von der emittierenden Oberfläche abgegebene Leistung wird pro Einheit der projizierten emittierenden Fläche, pro Raumwinkeleinheit und pro Wellenlängeneinheit beschrieben. Da die Strahldichte isotrop und richtungsunabhängig ist, ist die unter einem Winkel zur Flächennormalen emittierte Leistung proportional zur projizierten Fläche und damit gemäß dem Lambertschen Kosinusgesetz zum Kosinus dieses Winkels. Die Strahlung ist unpolarisiert.

Die folgende Darstellung, Abbildung 1, zeigt die grafische Beschreibung der Formel in Abhängigkeit von der Wellenlänge bei unterschiedlichen Temperaturen.

Die Umkehrung von Gleichung 1 liefert die Schwarzkörpertemperatur für eine gegebene spektrale Intensität bei einer schmalbandigen Wellenlänge wie folgt:

[math]T=\frac{hc}{\lambda \ k_B\ \bullet \ln \left(\frac{2hc^2}{\lambda ^5\ B_{\lambda }}+1\right)}[/math]