Berechnung der Infrarottemperatur

Ein Infrarotsensor bestimmt die Temperatur eines Objekts, indem er die von dessen Oberfläche emittierte Infrarotstrahlung beziehungsweise den Strahlungsfluss misst. Die Strahlungsenergie ist eine Funktion der Objekttemperatur und des materialspezifischen Emissionsgrads. Darüber hinaus erfasst der thermische Sensor auch weitere einfallende Infrarotstrahlung, darunter reflektierte Umgebungsstrahlung und interne Strahlung sowie transmittierte Strahlung. Um die gemessene Strahlung in einen Temperaturwert umzuwandeln, verwendet der Infrarotsensor ein auf dem Planckschen Strahlungsgesetz basierendes Kalibriermodell und berücksichtigt den bekannten oder geschätzten Emissionsgrad des Messobjektmaterials sowie in komplexeren Fällen Informationen über die optischen Bedingungen.

Im einfachsten Fall, bei dem nur eine Strahlungsquelle und eine schmalbandige Wellenlänge berücksichtigt werden, beschreibt das Plancksche Strahlungsgesetz die spektrale spezifische Ausstrahlung [math]M_\lambda^° (\lambda,T)[/math] eines grauen Strahlers mit dem Emissionsgrad [math]\varepsilon[/math] in Abhängigkeit von seiner Temperatur und Wellenlänge, wobei [math]c_1[/math] und [math]c_2[/math] die erste und zweite Plancksche Strahlungskonstante sind.

[math]M_\lambda^° (λ,T)=ε \cdot \frac{c_1}{λ^5} \frac{1}{e^{\frac{c_2}{λ \cdot T}} -1} [/math]

Durch Umstellen der Gleichung ergibt sich die Temperatur für eine gegebene spektrale spezifische Ausstrahlung unter Berücksichtigung des Emissionsgrads.

[math]T=\frac{c_{2}}{\lambda \cdot \ln\left(\frac{\epsilon \cdot c_{1}}{\lambda^{5} \cdot M_\lambda^°}\right)+1}[/math]

In der Praxis messen Detektoren die Strahlung häufig über einen Spektralbereich und nicht nur bei einer einzelnen Wellenlänge. Um dies zu berücksichtigen, wird die kumulative Intensität durch Integration der Planck-Funktion über das gewünschte Wellenlängenintervall von der unteren bis zur oberen Wellenlängengrenze bestimmt.

[math]\phi_{\lambda}°\left(\lambda,T\right)=\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} \frac{c_{1}}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{\frac{c_{2}}{\lambda\cdot T}}-1}d\lambda[/math]

Für die Temperatur existiert in dieser Gleichung keine geschlossene Lösung, sodass das Integral numerisch ausgewertet werden muss – typischerweise mithilfe von Verfahren wie Polynomapproximationen. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass der Detektor den empfangenen Infrarotfluss [math]\phi[/math] im Verhältnis zur Sensortemperatur misst. Dieser gesamte Strahlungsfluss [math]\phi_{\lambda}[/math] ist proportional zum vom Infrarotsensor erfassten Signal U und bildet die Grundlage für die Bestimmung der Objekttemperatur. Die Eigenstrahlung des Infrarotthermometers muss dabei berücksichtigt werden. Daher muss die Temperatur des Sensors selbst [math]T_{int}[/math] gemessen und anschließend vom gesamten Infrarot-Strahlungsfluss abgezogen werden.

[math]U\ \sim \ \phi_\lambda\left(\ \lambda,\ T\right)-\ \phi_{int}\left(T_{int}\right)\ [/math]

Auf Grundlage des Kirchhoffschen Gesetzes und des Lambertschen Gesetzes ergibt sich der Strahlungsfluss [math]\phi_{\lambda}[/math] aus der Summe der emittierten Strahlung, der reflektierten Strahlung und der transmittierten Strahlung, wobei [math]\theta[/math] der Winkel zwischen der Oberflächennormalen und der Strahlungsrichtung ist, [math]\phi[/math] den Richtungswinkel im Halbraum bezeichnet und der Term [math]cos\left(\theta\right)[/math] das Lambertsche Kosinusgesetz berücksichtigt.

[math]\phi=\phi_{\epsilon}+\phi_{p}+\phi_{\tau}=\sum_i\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} M_{i}\left(\lambda,T\right)d\lambda[/math]

Der Strahlungsfluss [math]\phi_{\lambda}[/math] kann durch Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes über die Bandbreite des Infrarotsensors für alle Infrarotstrahlungsquellen unter Berücksichtigung des Lambertschen Gesetzes bestimmt werden. Unter der Annahme, dass der Emissionsgrad über den Bereich annähernd konstant ist und die Sensorempfindlichkeit mit 1 angenommen wird, vereinfacht sich die Gleichung wie folgt, wobei die Variablen [math]T_{obj}[/math], [math]T_{p}[/math], [math]T_{\tau}[/math] die Temperatur des Objekts, die Temperatur einer reflektierenden Quelle und die Temperatur des Hintergrunds darstellen.

[math]\phi_{\lambda}\left(\lambda,T_{obj}T_{p},T_{\tau}\right)=\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} \epsilon \cdot M°\left(\lambda,T_{obj}\right)d\lambda+\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}}\rho \cdot M°\left(\lambda,T_{\rho}\right)d\lambda+\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}}\tau \cdot M°\left(\lambda,T_{\tau}\right)d\lambda[/math]

Daher ist das proportionale Detektorsignal U eine Kombination aller Strahlungsflüsse.

[math]U\sim \phi_{\lambda}\left(\lambda,T_{obj}T_{\rho},T_{\tau}\right)-\phi_{int}\left(T_{int}\right)[/math]

Vereinfacht gilt nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz, dass die von einer Oberfläche abgestrahlte Energie für das gesamte Infrarotspektrum [math]\lambda_1=0[/math] und [math]\lambda_2=\infty [/math] proportional zu ihrem Emissionsgrad und zur vierten Potenz ihrer absoluten Temperatur ist.

[math]U\sim \phi\left(T\right)=\epsilon \cdot \sigma\cdot T_{4}[/math]

Da praktische Infrarotthermometer über einen begrenzten Spektralbereich arbeiten, wird der ideale Stefan-Boltzmann-Exponent n=4 durch einen effektiven Exponenten n ersetzt, der von der Wellenlänge und der spektralen Empfindlichkeit abhängt. Die Konstante c_i wird hier eingeführt, um optische Parameter zu ersetzen, und dient als Kalibrierkoeffizient.

[math]U\sim \phi_{\lambda}\left(\lambda,T\right)\sim c_{i}T^{n}[/math]

Das Detektorsignal basiert auf dem gesamten Strahlungsfluss, der sich aus Reflexion, Emission und Transmission zusammensetzt, abzüglich der thermischen Eigenstrahlung des Sensors.

[math]U\ \sim \ \phi_\lambda\left(\ \lambda,T_{obj}T_\rho,\ T_\tau\right)-\ \phi_{int}\left(T_{int}\right)\rightarrow U=c_\varepsilon\ \varepsilon\ \ T_{obj}^n+c_\rho\ \rho\ \ T_{\rho\ }^n+\ c_\tau\ \tau\ \ T_{\tau\ }^n-\ c_{int}\ T_{int}^n[/math]

Durch Lösen der inversen Strahlungsgleichung wandelt der Sensor das gemessene Infrarotsignal in einen Temperaturmesswert um, der dem thermischen Zustand der Objektoberfläche entspricht.

[math]T_{obj}=\ \sqrt[n]{\frac{U+ c_{int} T_{int}^n{- c}_ρ ρ  T_{ρ }^n-c_τ τ  T_{τ }^n }{c_ε \cdot ε}}[/math]

Diese Formulierung stellt einen idealisierten Messaufbau ohne Fenster im optischen Pfad dar.

Abbildung 2 zeigt beispielhaft einen Standardmessaufbau. Ein opakes Objekt mit vernachlässigbarer Transmission wird direkt vom berührungslosen Temperatursensor erfasst. In diesem Szenario befinden sich keine transmissiven Elemente zwischen dem Objekt und dem Sensor. Darüber hinaus weist das Objekt einen hohen Emissionsgrad auf und ist optisch dick, sodass für das Objekt eine Transmission von null [math]\tau=0[/math] angenommen werden kann. Aus dem Kirchhoffschen Gesetz ergibt sich daraus [math]\rho=1- \ \varepsilon[/math]. Zwischen dem Sensor und seiner Umgebung besteht ein thermisches Gleichgewicht. Daher kann angenommen werden, dass die Umgebungstemperatur der Sensortemperatur entspricht [math]T_{int}=T_{amb}[/math]. Zusätzlich wird angenommen, dass die Temperatur jeglicher Reflexion der Umgebungstemperatur entspricht [math]T_\rho=T_{amb}[/math]. Dadurch vereinfacht sich die Gleichung wie folgt.

[math]T_{obj}=\ \sqrt[n]{\frac{U+T_{int}^n\ \left(c_{int}+\ c_\rho\ \varepsilon\ -\ c_\rho\right)\ }{c_\varepsilon\cdot\ \varepsilon}}[/math]

Eine genaue Temperaturbestimmung erfordert daher entweder die vorherige Kenntnis des Emissionsgrads oder eine In-situ-Methode zu dessen Kompensation. Die Kalibrierkoeffizienten [math]c_{int}[/math], [math]c_{\rho}[/math], [math]c_{\epsilon}[/math] werden während der Werkskalibrierung bestimmt.

Ein komplexeres Szenario entsteht durch die Integration eines Infrarotfensters zwischen Objekt und Sensor, wie in Abbildung 3 dargestellt. Das Objekt emittiert entsprechend seiner Temperatur Infrarotstrahlung und reflektiert gleichzeitig einen Teil der Umgebungsstrahlung. Der Sensor misst den gesamten Strahlungsfluss, der durch das Fenster mit dem Transmissionsgrad [math]\tau_w[/math] hindurchtritt. Das Fenster absorbiert einen Teil der einfallenden Strahlung und emittiert abhängig von seiner Temperatur [math]T_{window}[/math] zusätzliche Strahlung.

Die Summe des Strahlungsflusses ändert sich zu folgender Gleichung.

[math]\phi=\ \tau_w\ \phi_\varepsilon+\ \tau_w\ \phi_\rho+\ \tau_w\ \phi_{\tau\ }+\ \phi_{window\ \varepsilon}+\phi_{window\ \rho} \\ = \tau_w \cdot\sum_{i}\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}{M_i\left(\lambda,\ T\right)\ d\lambda}+\sum_{i}\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}{M_{window\ i}\left(\lambda,\ T_{window}\right)\ d\lambda}[/math]

In den meisten Fällen befindet sich das Fenster sehr nahe am Infrarotsensor, sodass angenommen werden kann, dass das Fenster dieselbe Temperatur wie die Umgebung aufweist, die wiederum der Temperatur des Sensors entspricht, [math]\ T_{window}=\ \ T_{amb}=\ \ T_{int}[/math]. Unter Berücksichtigung derselben Annahmen zur Planck-Kurve, zum Stefan-Boltzmann-Gesetz, zum Kalibrierkoeffizienten und zur Eigenstrahlung des Geräts, wie zuvor ausführlich beschrieben, ergibt sich das Detektorsignal aus der folgenden Gleichung.

[math]U\ \sim \ \phi_\lambda\left(\ \lambda,T_{obj}T_{int}\right)-\ \phi_{int}\left(T_{int}\right)\rightarrow U \\ =\tau_w\left(\ c_\varepsilon\ \varepsilon\ \ T_{obj}^n\ +c_\rho\ \rho\ \ T_{int\ }^n+\ c_\tau\ \tau\ \ T_{back\ }^n\right)+\left(\ c_\varepsilon\ \left(\varepsilon_w+\ \rho_w\right)\ -\ c_{int}\right)\ T_{int}^n[/math]

Wie zuvor wird die Gleichung nach der Objekttemperatur umgestellt.

[math]T_{obj}=\ \sqrt[n]{\frac{U+T_{int}^n\ \left[c_{int}-\ \tau_wc_\rho\ \rho-c_\varepsilon\left(\varepsilon_w+\ \rho_w\right)\ \right]-\ \tau_w\ c_\tau\ \tau\ \ T_\tau^n\ }{\tau_w\cdot \ c_\varepsilon\cdot\ \varepsilon}}[/math]

Da die meisten Infrarotfenster ohnehin einen hohen Transmissionsgrad und einen niedrigen Emissionsgrad aufweisen, wird die Annahme [math]\varepsilon_w[/math],[math]\ \rho_w\approx0[/math] getroffen. Unter Anwendung des Kirchhoffschen Gesetzes ergibt sich [math]\rho=1- \ \varepsilon[/math]. Wird zusätzlich angenommen, dass die Temperatur hinter dem Objekt der Umgebungstemperatur entspricht [math]T_{\tau}=T_{amb}=T_{int}[/math] , ergibt sich die folgende Gleichung.

[math]T_{obj}=\ \sqrt[n]{\frac{U+T_{int}^n\ -\left[c_{int}+\tau_w\left(c_\rho\varepsilon-\ c_\rho-\ \ c_\tau\ \tau\right)\ \right]\ }{\tau_w\cdot \ c_\varepsilon\cdot\ \varepsilon}}[/math]